Unterschnitt und Überdeckungsgrad von Evolventenzahnrädern: Warum Zähnezahlen unter 17 nachteilig sind und εα möglichst über 1.2 liegen sollte

Kernaussage: Bei geradverzahnten Evolventen-Stirnrädern mit Standard-Druckwinkel 20° führt eine Zähnezahl unter 17 zu Unterschnitt – die Zahnfuß-Evolvente wird vom Werkzeug teilweise weggeschnitten, der Zahnfuß wird dünner und die Biegefestigkeit sinkt. Bei der Auslegung zunächst eine Zähnezahl über 17 wählen; in der Leistungsübertragung sind 17–25 üblich. Der Überdeckungsgrad (durchschnittliche Anzahl gleichzeitig am Eingriff beteiligter Zahnpaare) sollte über 1.2 liegen; der übliche Auslegungsbereich ist 1.3–1.6. Unter 1.1 ist die Kraftübertragung nicht kontinuierlich, Geräusche und Stöße sind deutlich. Reicht die Zähnezahl nicht aus, lässt sich dies mit positiver Profilverschiebung beheben; der Profilverschiebungskoeffizient x beginnt bei (17−z)/17.

1. Woher die Zahl 17 bei der Zähnezahl kommt#

Unterschnitt (undercut): Beim Bearbeiten von Evolventenzahnrädern mit einem Zahnstangenwerkzeug überschreitet der Werkzeugkopf den Grenzpunkt der Eingriffsstrecke und schneidet ein Stück der Evolvente im Zahnfußbereich weg. Nach dem Wegschneiden wird der Zahnfuß dünner, die Biegefestigkeit sinkt, zugleich wird die wirksame Eingriffslänge kürzer und auch der Überdeckungsgrad nimmt ab. Die Mindestzähnezahl, bei der kein Unterschnitt auftritt, wird nach folgender Formel berechnet: z_min = 2·h_a* / sin²α Für Standardzahnräder mit h_a* = 1 und α = 20° ergibt sich z_min = 2 × 1 / sin²20° ≈ 17.1; ganzzahlig gerundet ergibt das 17. Je größer der Druckwinkel, desto kleiner die Mindestzähnezahl – bei α=25° etwa 13.5, bei α=14.5° (alte zöllige Ausführung) etwa 32; deshalb ist der Druckwinkel 20° aus gutem Grund zum vorherrschenden Standard geworden. Ist die Zähnezahl bereits kleiner als 17, kann eine positive Profilverschiebung den Unterschnitt vermeiden. Der erforderliche Profilverschiebungskoeffizient beträgt ungefähr x ≥ (17 − z) / 17; bei einem Zahnrad mit z = 14 genügt beispielsweise x ≥ 0.176, um Unterschnitt zu vermeiden.

2. Überdeckungsgrad: harte Kennzahl für kontinuierliche Kraftübertragung#

Überdeckungsgrad (contact ratio): der Mittelwert der Anzahl der Zahnpaare, die während des Eingriffs gleichzeitig am Eingriff beteiligt sind. Bei geradverzahnten Zahnrädern muss der Überdeckungsgrad größer als 1 sein, damit eine kontinuierliche Kraftübertragung möglich ist – kleiner als 1 bedeutet, dass die beiden Zähne einen Augenblick lang außer Eingriff geraten und durch Stoß wieder in Eingriff kommen. Näherungsformel für Außenverzahnung mit Geradverzahnung (α=20°): εα ≈ 1.88 − 3.2 × (1/z1 + 1/z2) Für ein Zahnradpaar mit z = 20 gilt εα ≈ 1.88 − 3.2 × 0.1 = 1.56, d. h. durchschnittlich sind 1.56 Zahnpaare gleichzeitig im Eingriff. Je größer die Summe der Zähnezahlen, desto höher εα, doch der Anstieg wird immer langsamer; die theoretische Obergrenze liegt bei etwa 1.9. In der Praxis wird als unterer Grenzwert 1.2 empfohlen; die meisten Konstruktionshandbücher steuern 1.2–1.4 an. Unter 1.1 treten Geräusche und Stöße deutlich hervor. Bei Schrägverzahnung kommt ein axialer Überdeckungsgrad hinzu: εβ = b·sinβ / (π·mn), Gesamtüberdeckungsgrad εγ = εα + εβ Für übliche Schrägverzahnungen mit parallelen Achsen wird εγ ≥ 2 gefordert. Bei Modul 2, Zahnbreite 40 mm und Schrägungswinkel 10° gilt εβ ≈ 40 × 0.1736 / (3.1416 × 2) ≈ 1.1; zusammen mit εα wird 2 mühelos überschritten – das ist der unmittelbare Grund, warum Schrägverzahnungen ruhiger laufen als Geradverzahnungen.

3. Zusammenhang zwischen Zähnezahl, Unterschnitt und Überdeckungsgrad#

4. Praktische Erkenntnisse#

Wenn in der Zeichnung eine Zähnezahl kleiner als 17 zu sehen ist und kein Profilverschiebungskoeffizient angegeben wurde, zunächst von Unterschnitt ausgehen. Ist der Zahnfuß erst einmal weggeschnitten, können eine spätere Wärmebehandlung und Zahnflankenschleifen dies nicht mehr ausgleichen; dann hilft nur eine Änderung der Zeichnung. Bei Planetenrädern und Mehrfachzahnrädern ist der Bauraum eng, und das Ritzel wird häufig auf z = 12–15 gedrückt. In diesem Fall ist eine positive Profilverschiebung zwingend erforderlich; x beginnt bei (17−z)/17, danach den Überdeckungsgrad auf nicht weniger als 1.2 prüfen und nicht nur die Zahnfußfestigkeit betrachten. Bei Schrägverzahnungen wird der Überdeckungsgrad vorzugsweise über den Schrägungswinkel erhöht: Bei jeder Vergrößerung von β um 1° steigt εβ um etwa 7 % (b·sinβ ist linear), die Axialkraft steigt jedoch um etwa 1.7 % (tanβ); ab β über 15° steigen die Lagerkosten deutlich, 8–15° ist ein üblicher Bereich. Zahnkopf-Rücknahme (tip relief) verringert den wirksamen Überdeckungsgrad geringfügig; bei der Profilmodifikationsauslegung hochpräziser Hochgeschwindigkeitszahnräder ist es stabiler, für εα eine Reserve von etwa 0.1 vorzusehen. Solche Berechnungsdetails werden in der Prozessprüfungsphase von Präzisionszahnradbearbeitung Punkt für Punkt überprüft. Werden Unterschnitt und Überdeckungsgrad bereits in der Auslegungsphase sauber berechnet, erspart das deutlich mehr Aufwand als spätere Korrekturen über Wärmebehandlung und Zahnflankenschleifen – das ist ein Unterschied bei Kosten und Durchlaufzeit, nicht bei den Genauigkeitswerten. Geyontech — Präzisionszahnradantriebe und Fertigungslösungen | Fertigungskapazitäten | Zahnradproduktkategorien