Referenz zur Zahnradfestigkeitsberechnung nach ISO 6336
Die Referenz behandelt Zahnflankenkontakt- und Zahnfußbiegefestigkeit nach ISO 6336, GB/T 3480, DIN 3990 und AGMA 2001 mit 20CrMnTi bei HRC 58~62.
Referenz zur Berechnung der Zahnradfestigkeit
Dokumentnummer: GE-EN-001 | Version: V1.0 | Letzte Aktualisierung: 2024-06
1. Übersicht#
Die Berechnung der Zahnradfestigkeit ist ein Kernbestandteil der Zahnradauslegung und umfasst hauptsächlich zwei Teile: die Berechnung der Zahnflankenkontaktfestigkeit und die Berechnung der Zahnfußbiegefestigkeit. Referenznormen:
- ISO 6336: 2006 —— Berechnung der Tragfähigkeit von Stirnrädern (internationale Norm)
- GB/T 3480 —— Berechnung der Tragfähigkeit von Evolventen-Stirnrädern (chinesische Norm)
- DIN 3990 —— Deutsche Norm
- AGMA 2001 —— Amerikanische Norm
2. Berechnung der Zahnflankenkontaktfestigkeit#
2.1 Grundformeln#
ISO 6336 Formel für die Zahnflankenkontaktspannung: $$ \sigma_H = Z_H \cdot Z_E \cdot Z_\varepsilon \cdot Z_\beta \cdot \sqrt{\frac{F_t}{b \cdot d_1} \cdot \frac{u+1}{u} \cdot K_A \cdot K_V \cdot K_{H\beta} \cdot K_{H\alpha}} $$
| Symbol | Bedeutung | Erläuterung |
|---|---|---|
| $\sigma_H$ | Zahnflankenkontaktspannung (MPa) | Berechnungswert |
| $Z_H$ | Zonenfaktor am Wälzpunkt | abhängig von Eingriffswinkel/Schrägungswinkel |
| $Z_E$ | Elastizitätsfaktor (√(MPa)) | 189.8 (Stahl-Stahl) |
| $Z_\varepsilon$ | Überdeckungsfaktor | abhängig von der Überdeckung |
| $Z_\beta$ | Schrägungswinkelfaktor | Geradverzahnung=1, Schrägverzahnung<1 |
| $F_t$ | Nennumfangskraft am Stirn-Teilkreis (N) | $F_t = 2T/d$ |
| $b$ | Zahnbreite (mm) | |
| $d_1$ | Teilkreisdurchmesser des Ritzels (mm) | |
| $u$ | Zähnezahlverhältnis | $u = Z_2/Z_1 \ge 1$ |
| $K_A$ | Anwendungsfaktor | Lastcharakteristik von Antriebs- und Arbeitsmaschine |
| $K_V$ | Dynamikfaktor | Einfluss von Geschwindigkeit und Genauigkeit |
| $K_{H\beta}$ | Breitenlastverteilungsfaktor | Kontaktfestigkeit |
| $K_{H\alpha}$ | Stirnlastverteilungsfaktor | Kontaktfestigkeit |
2.2 Zulässige Kontaktspannung#
$$ \sigma_{HP} = \frac{\sigma_{Hlim} \cdot Z_N \cdot Z_L \cdot Z_V \cdot Z_R \cdot Z_W \cdot Z_X}{S_{Hmin}} $$
| Symbol | Bedeutung | Erläuterung |
|---|---|---|
| $\sigma_{Hlim}$ | Kontakt-Ermüdungsgrenze des Versuchszahnrads (MPa) | durch Werkstoff/Wärmebehandlung bestimmt |
| $Z_N$ | Lebensdauerfaktor | abhängig von der Anzahl der Spannungszyklen |
| $Z_L$ | Schmierstofffaktor | abhängig von der Viskosität des Schmieröls |
| $Z_V$ | Geschwindigkeitsfaktor | abhängig von der Wälzgeschwindigkeit |
| $Z_R$ | Rauheitsfaktor | abhängig von der Zahnflankenrauheit |
| $Z_W$ | Arbeitsverfestigungsfaktor | abhängig von der Härtedifferenz der Paarungszahnräder |
| $Z_X$ | Größenfaktor | abhängig von Modul/Größe |
| $S_{Hmin}$ | Mindestsicherheitsfaktor | Kontaktfestigkeit |
2.3 Nachweisbedingung#
$$ \sigma_H \le \sigma_{HP} $$
3. Berechnung der Zahnfußbiegefestigkeit#
3.1 Grundformeln#
ISO 6336 Formel für die Zahnfußbiegespannung: $$ \sigma_F = \frac{F_t}{b \cdot m_n} \cdot Y_{Fa} \cdot Y_{Sa} \cdot Y_\varepsilon \cdot Y_\beta \cdot K_A \cdot K_V \cdot K_{F\beta} \cdot K_{F\alpha} $$
| Symbol | Bedeutung | Erläuterung |
|---|---|---|
| $\sigma_F$ | Zahnfußbiegespannung (MPa) | Berechnungswert |
| $m_n$ | Normalmodul (mm) | |
| $Y_{Fa}$ | Formfaktor | abhängig von Zähnezahl/Profilverschiebungskoeffizient |
| $Y_{Sa}$ | Spannungskorrekturfaktor | Einfluss der Zahnfußausrundung |
| $Y_\varepsilon$ | Überdeckungsfaktor | |
| $Y_\beta$ | Schrägungswinkelfaktor | |
| $K_{F\beta}$ | Breitenlastverteilungsfaktor | Biegefestigkeit |
| $K_{F\alpha}$ | Stirnlastverteilungsfaktor | Biegefestigkeit |
3.2 Zulässige Biegespannung#
$$ \sigma_{FP} = \frac{\sigma_{Flim} \cdot Y_N \cdot Y_{ST} \cdot Y_{\delta relT} \cdot Y_{RrelT} \cdot Y_X}{S_{Fmin}} $$
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
| $\sigma_{Flim}$ | Biege-Ermüdungsgrenze des Versuchszahnrads (MPa) |
| $Y_N$ | Lebensdauerfaktor |
| $Y_{ST}$ | Spannungskorrekturfaktor (üblicherweise 2.0) |
| $Y_{\delta relT}$ | Relativer Zahnfußkerbempfindlichkeitsfaktor |
| $Y_{RrelT}$ | Relativer Oberflächenzustandsfaktor des Zahnfußes |
| $Y_X$ | Größenfaktor |
| $S_{Fmin}$ | Mindestsicherheitsfaktor (Biegefestigkeit) |
3.3 Nachweisbedingung#
$$ \sigma_F \le \sigma_{FP} $$
4. Referenzwerte für Ermüdungsgrenzen von Zahnrädern aus gängigen Werkstoffen#
| Werkstoff | Wärmebehandlung | Härte (HRC) | $\sigma_{Hlim}$ (MPa) | $\sigma_{Flim}$ (MPa) | Anwendungsbereich |
|---|---|---|---|---|---|
| 20CrMnTi | Einsatzhärten | 58~62 | 1500 | 500 | |
| 20CrMo | Einsatzhärten | 58~62 | 1500 | 500 | |
| 40Cr | Vergüten + Hochfrequenzhärten | 48~55 | 1100 | 380 | |
| 45# | Vergüten | 35~45 | 800 | 300 | |
| 42CrMo | Vergüten + Nitrieren | ≥50 (Nitrierschicht) | 1200 | 420 | |
| 40CrNiMo | Vergüten | 35~45 | 1000 | 350 |
5. Empfohlene Sicherheitsfaktoren#
| Anwendungsbereich | Kontaktfestigkeit $S_{Hmin}$ | Biegefestigkeit $S_{Fmin}$ |
|---|---|---|
| Allgemeine Antriebe | 1.0~1.1 | 1.25~1.5 |
| Hohe Zuverlässigkeit | 1.1~1.25 | 1.5~1.8 |
| Luft-/Raumfahrt | 1.25~1.5 | 1.8~2.5 |
6. Referenzwerte für Lastfaktoren#
6.1 Anwendungsfaktor $K_A$#
| Antriebsmaschine | Gleichmäßige Last der Arbeitsmaschine | Mittlere Stöße | Größere Stöße |
|---|---|---|---|
| Elektromotor/Turbine | 1.00 | 1.25 | 1.75 |
| Mehrzylinder-Verbrennungsmotor | 1.25 | 1.50 | 2.00 |
| Einzylinder-Verbrennungsmotor | 1.50 | 1.75 | 2.25 |
6.2 Dynamikfaktor $K_V$#
$$ K_V = 1 + \left( \frac{K_1}{K_A \cdot F_t/b \cdot K_{H\beta}} + K_2 \right) \cdot \frac{z_1 \cdot v}{100} \cdot \sqrt{\frac{u^2}{1+u^2}} $$ Dabei ist $v$ die Wälzgeschwindigkeit (m/s); $K_1$, $K_2$ sind Genauigkeitsfaktoren.
7. Berechnungsbeispiel (Schnellberechnung)#
Schnelle Festigkeitsabschätzung für Stirnräder#
| Gegebene Parameter | Wert |
|---|---|
| Modul $m_n$ | 3 mm |
| Zähnezahl $Z_1$ / $Z_2$ | 23 / 74 |
| Zahnbreite $b$ | 40 mm |
| Eingangsdrehmoment $T_1$ | 200 N·m |
| Werkstoff/Wärmebehandlung | 20CrMnTi einsatzgehärtet |
| Drehzahl $n_1$ | 1450 rpm |
| Genauigkeitsklasse | DIN-Genauigkeitsklasse 6 |
| Berechnungsschritte: |
- Umfangskraftberechnung: $F_t = 2T/d_1 = 2 × 200000 / (3×23) = 5797 N$
- Zahnflankenpressung: mit $Z_H=2.5,\ Z_E=189.8,\ Z_ε=0.87,\ Z_β=1.0,\ K_A=1.25,\ K_V=1.1,\ K_{Hβ}=1.15,\ K_{Hα}=1.1$ $σ_H = 2.5 × 189.8 × 0.87 × 1.0 × √(5797/(40×69) × (3.22+1)/3.22 × 1.25×1.1×1.15×1.1) ≈ 720\ MPa$
- Zulässige Zahnflankenpressung: $σ_{HP} = 1500 / (1.1) ≈ 1364\ MPa$ (sicher)
- Zahnfußbiegespannung: mit $Y_{Fa}=2.7,\ Y_{Sa}=1.55,\ Y_ε=0.7,\ Y_β=1.0,\ K_{Fβ}=1.1,\ K_{Fα}=1.1$ $σ_F = 5797/(40×3) × 2.7×1.55×0.7×1.0 × 1.25×1.1×1.1×1.1 ≈ 258\ MPa$
- Zulässige Biegespannung: $σ_{FP} = 500×2.0 / (1.5) ≈ 667\ MPa$ (sicher)
8. Häufig verwendete Berechnungswerkzeuge#
| Werkzeugname | Typ | Beschreibung |
|---|---|---|
| KISSsoft | Kommerzielle Software | |
| MASTA | Kommerzielle Software | |
| Romax | Kommerzielle Software | |
| Zahnradberechnungstabelle (Excel) | Selbsterstellt | |
| Online-Zahnradberechnung | Web |
9. Hinweise#
- Bei unzureichender Zahnflankentragfähigkeit: vorrangige Maßnahmen: Teilkreisdurchmesser vergrößern → Zahnbreite erhöhen → Härte erhöhen
- Bei unzureichender Zahnfußbiegefestigkeit: vorrangige Maßnahmen: Modul vergrößern → Zahnbreite erhöhen → positive Profilverschiebung anwenden
- Bei der tatsächlichen Auslegung müssen beide Festigkeitskriterien gleichzeitig erfüllt werden
- Für Hochgeschwindigkeitszahnräder ist zusätzlich eine Berechnung der Fresstragfähigkeit erforderlich (Blitztemperaturverfahren/Integraltemperaturverfahren)